表面化散乱の実装とかについて

コメント欄で表面化散乱の話があったので簡単に書いておきます。（一か月くらい前ですね。すいません。あまりこっちのブログは見てないのでツイッターとかのほうが反応は良いです）
表面化散乱とは、物体に侵入した光が物体内部で散乱を繰り返し、別の場所から出てくる現象で、人間の肌や大理石のような物体で顕著に影響が現れます。

表面化散乱の実装はだいたい二種類あり、一つはBSSRDFベースのもので、もう一つは直接散乱をシミュレーションするものです。
前者は非常に高速に実現できるのですが、多少実装が面倒な部分も無くもないです。後者は実装は単純ですが、非常に重くなります。

BSSRDFベースのもの

表面化散乱を拡散理論によって近似、さらにDipoleモデルによって近似することでBRDFのように単純な関数の形で散乱現象を取り扱います。
Dipole以外にもMultipoleとか、いろいろモデルはあります。
このモデルをレンダリングに応用するとなると複数の実装が考えられます。
例えば、普通のパストレではレイとサーフェスの交点から次の反射方向を決める際、新しい始点＝現在の交点となります。
しかし、内部における散乱をBSSRDFによってモデル化するとなると、新しい始点＝現在の交点の「周辺の点」となります。
この周辺の点ですが、具体的にどこになるか、というのがBSSRDFによって何らかの形で記述されます。たいていは現在の交点を中心として、遠くなるほど確率が小さくなるような確率密度関数を考え、その確率密度に基づいて新しい始点とします。さらに、現在の交点と新しい始点の距離に基づいて光を減衰させます。この減衰もBSSRDFによって記述します。一般的には、遠くなるほどたくさん減衰させます。
あとは、新しい始点から再びレイトレースを行っていくだけで、普通のパストレーシングとなんら変わりません。
このようにすると、内部の散乱をシミュレーションしないでも済むため大変高速に表面化散乱を実現できます。一方で、新しい点をどのようにしてサンプリングするか、という問題がありますし、そもそもBSSRDFをどう記述するか、という問題もあります。これらの解決策もいろいろ考えられますが、後はA Practical Model for Subsurface Light Transportという論文を読むのが良いでしょう。

散乱を直接シミュレーションするもの

さて、一方で散乱を直接シミュレーションするというアプローチもあります。
これは、非常に単純で、散乱のためのパラメータ（散乱係数、位相関数など）を決めておいたら、あとは物体内部における散乱を愚直にシミュレーションするだけです。
散乱のシミュレーションについては多少のバリエーションがあります。
例えば、レイマーチングベースの手法なら、現在位置から進行方向に少しずつレイを進めていき、進めるたびに一定確率で散乱・吸収イベントを起こします。（この確率は散乱係数・吸収係数といった対象物体のパラメータになります）吸収が起これば、そこでトレース全体を打ち切ります。散乱が起これば、位相関数の形状に基づいて新しい方向をランダムに決めます。位相関数の形状が球なら、一様にランダムにどこか別の方向になります。
他にも、次の散乱・吸収イベントが起こる位置を直接サンプリングする、という手法があります。散乱係数と吸収係数から、消失係数というものを求めることができます。この消失係数を使うことで、現在位置からどれくらいの距離進んだら次の散乱・吸収イベントが起こるか、について確率密度関数を作れます。この確率密度関数に従って、すすむ距離を直接サンプリングによって得ることもできます。サンプリングした距離進んだら、レイマーチングの場合と同様、散乱・吸収イベントの処理を行います。
BSSRDFの場合と同様、これ以外はパストレーシングと同じで、光源にヒットするまで処理を続けることでレンダリングを行うことができます。

Precomputed Radiance Trasnferのメモ

マイクロソフト（当時）のSloan氏が発表したPrecomputed Radiance Trasnfer（事前計算済み放射輝度伝達）の簡易的なメモ。

リアルタイムに相互反射や無限遠からの環境マップによるImage Based Lightingを考慮したライティングを行うのはかなり大変である。これを解決する手法。

さて、IBLをリアルタイムに行うのはかなり大変である。あるピクセルの色を決定するには、そのピクセルに対応するシーン中のある点の色、すなわち放射輝度を決定しないといけない。これは、その点における以下のような積分を解く必要がある。（なおシーンは簡単のため全て完全拡散面としておく（PRTは完全拡散面以外も扱える））

ここで、は各点における反射率であり、その点における色や見え方を決定する。さて、右辺の積分を解くことによっての値がもとまり、これは最終的にレンダリングされる画像の各ピクセル値に対応する。しかし、右辺の積分を解くと一口に言っても大変である。相互反射などはどうすればいいのか、といった問題や、そもそもどう積分を解くのか（モンテカルロ法を使うのか、使わないのか）といった問題がたくさんある。

今回は「リアルタイム」に「IBLの影響」を解きたいという状況だと仮定して、どんどん近似を入れていくことで問題を解くことにする。まず、相互反射を考慮しないことにする。すなわち、各点は全て光源から直接照明される以上に、ほかの影響は受けないと考える。（後でこの制限は取り払う）すると、上の式は以下のようになる。

ここで、はある方向からくる放射輝度の関数であり、これが今回の光源すなわちImage Based Lightである。はその位置における法線と方向の成す角度によるcosである。というのは可視関数で、位置において、方向を見たとき、光源（環境マップ）が可視か、それとも別のオブジェクトに遮蔽されて不可視か、を表したものである。可視なら1、不可視なら0になる。
Image Based Lightingというのは、通常点光源、面光源などを扱うコンピュータグラフィックスにおいて、光源を以下のような環境マップによる画像ベースのものにする、というものである。

(Light Probe Image Gallery(http://www.pauldebevec.com/Probes/)より)

この画像の各ピクセルはある方向からくる放射輝度値を表現しており、上のはこの値を得るためのものである。環境マップは、レンダリングしているシーンから十分に遠くに存在する巨大な球に張り付けられたテクスチャであると考えることもでき、それゆえにシーン中の位置に依存しない関数になっている。

ここで球面調和関数が出てくる。球面調和関数は完全直交関数系であり、球面上の任意の関数 を展開できる、とウィキペディアにある。上で出てきた関数もも、も全て方向にのみ依存する関数である。よって、これらは全て球面調和関数として展開できる。この時、何次の項まで展開するかを指定することが出来、次数が多くなればそれだけ精度も増すが、データ量や計算負荷も大きくなる、トレードオフになる。

PRTにおいては、まず、レンダリングしたいデータの各頂点（等）においてとを求める。これは離散的な結果になる場合がある。次に、これらの関数の積を求め、これを球面調和関数で表現し、頂点ごとに別途保存しておく。また、入力として与えたい光源である環境マップについても、球面調和関数として表現する。（これはランタイムで行ってもよい）

レンダリング時には、各頂点において、との積たる球面調和関数と光源である環境マップの球面調和関数を復元し、全方向について積分してやれば、それはそのままを積分したことになり、望む結果が得られる。さらに、ここからが球面調和関数の優れたところだが、実際には具体的な関数を復元する必要も、全方向について積分する必要もなく、各係数について内積をとるとそれが最終的に求めたい積分の結果になる。これらの内積の処理は高速に行うことが出来る。光源である環境マップが変化しても、環境マップの球面調和関数としての表現さえ存在すれば、単なる内積によってリライティングができ、しかもそれはちゃんと可視判定を考慮したものとなっているため、高品質なシェーディングが期待できる。

相互反射

さて、以上の話は直接光に限定した話だったが、PRTは間接光を考慮したものに拡張することが出来る。ある点において、環境マップが可視の方向からくる光は、そのまま環境マップの値だが、不可視の方向からくる光は別の場所で一度反射した光、すなわち間接光である。まず、各頂点においてとを計算し、球面調和関数を求める。次に、各頂点から直接光の来ない方向、すなわち不可視の方向にレイをとばし、別のオブジェクトとの交点を求める。

が求まったら、その点の位置において同様にして球面調和関数を求める。この球面調和関数と環境マップによって計算される値とは、つまりからへと反射される光に他ならない。そこで、における球面調和関数の値について、における反射率と積分の際のその方向への立体角の分をスケーリングしてにおける球面調和関数に加算してやる。すると、いざレンダリングするときに、という関係だったものが、というものになり、において直接反射する光と、別の点などを経由して反射する光の両方が考慮された結果が得られる。
（ここでやなどは球面調和関数の係数として表現された各項で、はスケーリング係数）

シャドウマップのメモ

シャドウマップの自分用メモ。

シャドウマップによるアルゴリズムは無数にあるが、基本的には光源側からシーンをレンダリング、光源からの深度値をシャドウマップと呼ばれるデータ構造に保存し、その値を視点側からシーンをレンダリングするときに参照しながらシャドウ領域を特定していく。
（ここでの深度とは光源や視点からの距離を何らかの座標系・空間において線形、あるいは非線形に表したものだとする）

視点側からシーンをレンダリングするとき、ある点について、シャドウ領域か否かを判定したい。
シャドウ領域ということは、光源とその点の間に別の物体（遮蔽物）が存在するということであり、非シャドウ領域（普通にシェーディングされる領域）ということは、光源とその点の間に別の物体が何もないということになる。
さて、レンダリングしたい点について、光源側から見たときの深度というものが計算できる。一方、その点について、シャドウマップ上でどの位置に対応するのかというのもわかるので、シャドウマップ上における深度も求まる。もし、レンダリングしたい点が非シャドウ領域なら光源からその点が直接みえているため、シャドウマップ上に保存される深度値と、改めて計算しなおした光源側からの深度値は一致、ないしは非常に近いものになるはずである。しかし、レンダリングしたい点がシャドウ領域なら光源とその点の間に別の物体が存在し、その物体の方が光源にちかいため、シャドウマップ上に保存される深度値は別物体のものになる。この深度値は改めて計算しなおした光源側からの深度値より小さくなる。こうして、レンダリング対象の点について、シャドウ領域か否かが判定できる。

シャドウマップを作成するときは、光源を普通の視点と見立ててレンダリングを行う。たとえば、光源がスポットライトなら、それは普通のカメラと同じなので透視投影変換を行うし、光源が平行光源なら、それは平行投影変換を行う。
より具体的には、シーンの各頂点に対してモデル座標系からワールド座標系へと普通に変換してから、光源のビュープロジェクション行列をかけてやる。光源のビュープロジェクション行列は光源の位置や種類、向きなどによって求まる。
光源のビュー行列を作用させることで、光源の位置を原点とした座標系にシーンが設定される。プロジェクション行列（透視投影や平行投影）によって、平面上に投影される。この平面がシャドウマップに対応する。具体的に保存する値としては、非線形なZ値だったり、単純に光源からの距離などを保存する。前者は非線形、後者は線形な値が深度値として記録されることになる。

レンダリングするときは、まず対象の点について、光源からの距離を求める。シャドウマップに保存されている値をどう計算したかによって、この計算方法は変わり、シャドウマップに保存された値が線形な距離であれば光源からの距離は単純に求めることが出来る。
次に対象の点が、シャドウマップ上でどの位置に対応するかを求める。これも、上と同様の光源のビュープロジェクション行列をかけてやれば容易に求まる。ただし、これで求まる平面というのはデバイス座標系であるので、テクスチャ座標系にあわせるために若干追加の処理が必要な場合もある。たとえば、前者はXYが-1.0から1.0の範囲なのに対して、後者は0.0から1.0の範囲だったりするのでシフト、スケーリングが必要になる。シャドウマップ上でどの位置に対応するかがわかればテクスチャを参照して深度値を取得、あらかじめ求めてあった光源からの距離と比較し、シャドウ領域か否かを判定する。